المعادلات من الدرجة الأولى بمجهول واحد : أنشطة التمهيد و الإكتشاف

في هذا الدرس الأول من سلسلة دروس المعادلات، سنتناول مجموعة من الأنشطة التمهيدية التي من خلالها سنختبر مكتسباتك القبلية بخصوص المعادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد. 
سنميز بين المعادلة و المتساوية و التعبير الجبري، نتعرف على المجهول في المعادلة و نستكشف بعض من طرق و تقنيات الحل بإعتماد القواعد و الخاصيات التي تنظم الحساب في المعادلات. هذه الحصة تتضمن خمس مهمات ، المطلوب منك التفاعل مع الأسئلة و إسترجاع ما تعلمته من إستراتيجيات في حل المعادلات :نشاط رقم 1 : معادلة أم لا ... حل أم لا !   مهمة رقم 1 :   
المطلوب منك في هذه المهمة أن تتعرف على المعادلة و تميزها عن غيرها في مرحلة اولى، و أن تتأكد من حل معادلة في مرحلة ثانية :

   تلميحات :   تلميحات :

**/ المعادلة هي متساوية يتضمن أحد طرفيها أو هما معا مجهولا عادة يرمز له بحرف لاتيني مثل a و x و ... **/

**/ يكون عدد ما حل لمعادلة : أي عندما نعوض المجهول في المعادلة بهذا العدد نحصل على تساوي بين طرفيها. **/نشاط رقم 2 : برنامج حساب   مهمة رقم 2 :   

          برنامج حساب
هشام و أحمد كل منهما يرقن في البداية نفس العدد على ألته الحاسبة و كل منهما بعيدا عن الأخر يقوم بما يلي :
    * هشام يضرب هذا العدد في 8 ثم يضيف 7 للناتج المحصل عليه.
    * أحمد يضرب هذا العدد في 6 ثم يضيف 13 للناتج المحصل عليه.
الغريب في الأمر... أن الألتين الحاسبتين تظهران نفس الناتج !!
   أ ) - في نظرك هل يمكن أن يكون 3 هو العدد الذي إختاره أحمد و هشام في البداية ؟ علل حساباتك
   ب) - هل يمكن أن يصلح الأمر كذلك مع 2 ؟ علل الجواب
سهام فعلت نفس الشئ مع عدد البداية على ألتها الحاسبة لكنها قامت بما يلي:
   * سهام تضرب هذا العدد في 3 ثم تضيف 30 للناتج المحصل عليه.
  ج) - هل يمكنها أن تجد نفس الناتج مثل هشام و أحمد ؟ علل الجواب   حل مسألة برنامج حساب :   أ) - نعم 3 هو العدد الذي إختاره أحمد و هشام

3 × 8 + 7 = 24 + 7 = 31 : هشام3 × 6 + 13 = 18 + 13 = 31 : أحمد ب) لا :2 × 8 + 7 = 16 + 7 = 23 : هشام2 × 3 + 13 = 6 + 13 = 19 : أحمد ج) لن تحصل على نفس الناتج :3 × 3 + 30 = 9 + 30 = 39 : هشام

للتفكير :

بفرض أنهم لم يعطونا العدد 3 في السؤال أ) كي نتأكد فعلا من أنه هو العدد الذي إختاره أحمد و هشام في البداية. كيف يمكنك أن تجد بنفسك هذا العدد ؟   الحــــــل :   في الحقيقة يمكننا أن نجيب على هذا السؤال بطريقتين مختلفتين : الطريقة الأولى نخمن عدد البداية ثم نجري الحساب و نتأكد من صحة العدد المخمن، و هذه طريقة غير فعالة و غير مضمونة النتائج حيث يصعب الأمر إذا كان العدد المخمن عشري أو كبير ...



الطريقة الثانية ستكون مضمونة النتائج و تعتمد على ترييض برنامج الحساب على شكل معادلة بسيطة نقوم بحلها و نتوصل إلى العدد المخمن بسهولة. يمكننا أن نفترض أن عدد البداية هو x . سيقوم هشام بضربه في 8 يحصل على 8x ثم يضيف إلى الناتج 7 و يحصل على 8x + 7 . أحمد سيضرب ب 6 يحصل على 6x  ثم يضيف 13 و يحصل على 6x + 13 . بما أن الألتين الحاسبتين ستضهران نفس الناتج هذا معناه أننا سنحصل على المعادلة  8x + 7 = 6x + 13 و حلها يكون على الشكل التالي :

8x + 7 = 6x + 138x - 6x = 13 - 72x = 6x = 3طريقة حل مثل هذه المعادلات سيكون موضوع الحصة الثانية : 
نشاط رقم 3 : معادلة ميزان   مهمة رقم 3 :   
في هذا النشاط سنختبر قدرتك على حل معادلة إعتمادا على مبدأ الميزان حيث أنه يمكنك أن تضيف (أو تنقص) من كفتيه نفس الكمية و يبقى في حالة توازن. المطلوب منك الإشتغال على مرحلتين لحل المعادلة المعطاة :

    *- قم بمسك و ترحيل المجهول × المعبر عنه بلون أزرق و الوحدات المعبر عنها بنقط حمراء إلى داخل المستطيلين حتى تحصل على المعادلة المطلوبـة في حالة توازن.

    *- قم بمسك و ترحيل ال × المعبر عنها بلون أزرق و الوحدات المعبر عنها بنقط حمراء إلى خارج المستطيلين حتى تحصل على قيمة  ×
 
    *- قم بإختيار معادلة جديدة ثم أعد الكرة :  نشاط رقم 4 : قاعدتان هامتان قاعدة 1 :           في معادلة يمكن أن نضيف أو نطرح من طرفيها نفس العدد دون أن تتغير هذه المعادلة : a + c = b + c  <=> a = bقاعدة 2 :          في معادلة يمكن أن نضرب أو نقسم طرفيها على نفس العدد الغير المنعدم دون أن تتغير هذه المعادلة : a × c = b × c  <=> a = b
   مهمة رقم 4 :   

نشاط رقم 5 : مسألة هندسية   مهمة رقم 5 :   

  في الشكل جانبه ABCD مستطيل حيث أن :         AB = 5cm و AD = 2cm  M نقطة متحركة على القطعة [DC].         نضع : DM = x   في هذا النشاط نريد تحديد قيم x التي من أجلها يكون        المثلث AMB قائم الزاوية في M.
  و لكي نجيب على هذا النشاط سنستعمل طريقتين  مختلفتين لإيجاد قيم x التي تحقق المطلوب : الطريقة  الهندسية و الطريقة الجبرية :
1 ) .  الطريقة الهندسية :
     أ ) - حرك النقطة  Mعلى القطعة [DC] و حدد قيم x التي من أجلها يكون المثلث AMB قائم الزاوية في  M.
     ب ) - وصف مراحل طريقة إنشاء النقطة M هندسيا بحيث يكون المثلث AMB قائم الزاوية في  M.

2 ) .  الطريقة الجبرية :
     أ ) - بإعتماد أطوال أضلاع المثلث AMB . متى يكون AMB قائم الزاوية في M ?
     ب) - في المثلث ADM عبرعن AM² بدلالة x.
     ج) -في المثلث BCM عبرعن BM² بدلالة x.
     د ) - إستنتج أنه لكي يكون المثلث AMB  قائم الزاوية في M يجب أن تتحقق المعادلة التالية : x² - 5x + 4
     ه ) - أنشر و بسط : (P = (x -1)(x - 4
     و) - أسنتج حلول المعادلة الواردة في السؤال د).
    الحلول الكاملة :   1 . أ  ) - إذا قمنا بتحريك النقطة  Mعلى القطعة [DC] سنجد قيمتين ل x هما : x = 1 و x = 4 (جرب بنفسك)



1 . ب) - ننشئ الدائرة التي مركزها O منتصف القطعة [AB] و شعاعها يساوي 2,5. هذه الدائرة ستقطع القطعة [DC] في نقطتين مختلفتين تكونان هما الجواب على السؤال.


2 . أ  ) - حسب مبرهنة فيتاغورس يكون AMB قائم الزاوية في M إذا كان AM² + BM² = AB².
1 . ب )  - ADM قائم الزاوية في M إذن حسب مبرهنة فيتاغورس لدينا : AM² = َAD² + DM²AM² = َAD² + DM²AM² = َ2² + x²1 . ج)  - BCM قائم الزاوية في M إذن حسب مبرهنة فيتاغورس لدينا : BM² = َBC² + MC²BM² = َBC² + MC²BM² = َ2² + (5 - x)²BM² = َ4 + 25 - 10x + x²BM² = َ29 - 10x + x²1 . د )  - AMB قائم الزاوية في M إذن حسب مبرهنة فيتاغورس لدينا :  AM² + BM² = AB²AM² + BM² = AB²2² + x² + 29 - 10x + x² = 5²33 + 2x² - 10x = 258 + 2x² - 10x = 02x²  - 10x  +8  = 02(x² - 5x + 4) = 0x² - 5x + 4 = 01 . ه )  - النشر و التبسيط :P = (x -1)(x - 4 )P = x² - 4x - x + 4P = x² - 5x + 41 . و )  - حلول المعادلة : x² - 5x + 4 = 0P = (x -1)(x - 4 )x² - 5x + 4 = 0(x -1)(x - 4 ) = 0x - 1 = 0  ou  x - 4 = 0x = 1   ou  x = 4